Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
①求a₂，a₃，a₄；
②是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
③求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：①直接根据条件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2把n=2，3，4代入即可求解；
②先假设其存在，然后根据等差数列对应的相邻两项的差为常数即可求出λ的值；
③先根据②的结论求出数列{a_n}的通项公式，再借助于分组求和以及错位相减求和即可求出结论．

解答：解：①a₂=2×2+2²+2=10；
a₃=2×10+2³+2=30；
a₄=2×30+2⁴+2=78．
②假设存在一个实数λ，使数列{

an+λ

2n

}成等差数列，
则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an+λ-2an-1-2λ

2n

=

2an-1+2n+2+λ-2an-1-2λ

2n

=

2n+2-λ

2n

=1+

2-λ

2n

恒为常数
∴2-λ=0即  λ=2
此时 

a1+2

2

=2，

a2+2

22

-

a1+2

2

=1
∴λ=2时，数列{

an+λ

2n

}是首项为2，公差为1的等差数列．
③由②得

an+2

2n

=2+1×(n-1)=n+1
得a_n=（n+1）2ⁿ-2
所以：S_n=（2×2¹-2）+（3×2²-2）+（4×2³-2）+…+[（n+1）2ⁿ-2]
=[2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ]-2n
令 m=2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ…①
2m=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹…②
①--②得：-m=2×2¹+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）2ⁿ⁺¹=4+

22(1-2n-1)

1-2

-(n+1)2n+1
得m=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹-2n

点评：本题主要考察利用数列的递推式求数列的特定项以及数列的求和问题．本题涉及到数列求和的分组法以及错位相减法，错位相减法适用于一等差数列与一等比数列相乘组成的新数列．