Question

（14分）在正四棱柱中，E,F分别是的中点，G为上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4.

（Ⅰ）求证AGEF；

（Ⅱ）确定点G的位置，使AG面CEF,并说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（14分）

解：∵是正四棱柱

    ∴ABCD是正方形，设其边长为2a,ÐECD是EC与底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC1, ∴CC1=4EC1=4a.……………1分

以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的直角坐标系。

则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a),D1(0,2a,4a),

E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),设G(2a,2a,b)(0<b<4a)………………3分

（Ⅰ）=（2a,2a,b）,=(a,-a,0),=2a2-2a2+0=0,

∴AGEF   ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG面CEF，只需AGCE,

只需=（2a,2a,b）×（-a,0,4a）=-2a2+4ab=0,

∴b=a,即CG=CC1时，AG面CEF。………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当G(2a,2a, a)时，是平面CEF的一个法向量，

由题意可得，是平面CEC1的一个法向量，

设二面角的大小为q，

则cosq===,

二面角的余弦值为.    …………………………14分

（运用综合法相应给分）