Question

（2013•营口二模）已知椭圆

y2

25

+

x2

9

=1的上、下焦点分别为F₂和F₁，点A（1，-3），
（1）在椭圆上有一点M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）当|F₂M|+|MA|取最小值时，求直线MF₁被椭圆截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的方程求出上下两个焦点，利用三角形中两边之差小于第三边把|F₂M|+|MA|的值缩小，得到当点M在椭圆上并在线段F₁A的延长线上时|F₂M|+|MA|取得最小值；
（2）由（1）知，当|F₂M|+|MA|取最小值时，点M在直线AF₁上，由两点式写出直线方程，和椭圆方程联立后直接利用弦长公式求直线MF₁被椭圆截得的弦长．

解答：解：（1）由椭圆方程

y2

25

+

x2

9

=1得，a=5，b=3，
∴c=

a2-b2

=

25-9

=4，则椭圆两个焦点F₁（0，-4），F₂（0，4），
又A（1，-3），
|F₂M|+|MA|≥|F₂M|+|MF₁|-|AF₁|=2a-|AF₁|=10-|AF₁|．
当

MF1

与

AF1

同向共线时取等号，即取最小值．
而|AF1|=

(1-0)2+(-3+4)2

=

2

．
∴当点M在椭圆上并在线段F₁A的延长线上时取得最小值，
|F₂M|+|MA|的值最小为10-

2

；
（2）当|F₂M|+|MA|取得最小值时，点M在直线AF₁上，可求得
直线AF₁的方程为：y=x-4．
直线AF₁与椭圆相交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立方程

y2 25 + x2 9 =1 y=x-4

，得34x²-72x-81=0．
则x1+x2=

72

34

=

36

17

，x1x2=-

81

34

．
∴弦长|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 36 17 )2-4(- 81 34 )

=

2

17

362+162×17

=

2×4050

17

=

90

17

．
∴直线MF₁被椭圆截得的弦长为

90

17

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及圆锥曲线中的最值问题，往往要借助于圆锥曲线的定义解决，体现了数学转化思想方法，弦长公式实际上是两点间距离公式的简化形式，此题是中档题．