Question

（2006•西城区一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面AB₁C₁的距离．

Answer 1

分析：解法一：（I）通过证明AC⊥平面BCC₁B₁，连结B₁C，则B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁上的射影，然后证明AB₁⊥BC₁；
（Ⅱ）说明∠CHB为二面角C-AC₁-B的平面角，然后在三角形△BCH求二面角C-AC₁-B的大小；
（Ⅲ）点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离，通过CH的长度为点B到平面AB₁C₁的距离，即可求点B到平面AB₁C₁的距离．
解法二：（I）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点．通过

AB1

•

BC1

=0，证明AB₁⊥BC₁；
（Ⅱ）通过求出

CB

为平面ACC₁的法向量，

CB

=(0，2，0)，

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABC₁的法向量，通过向量的数量积，即可求解二面角C-AC₁-B的大小；
（Ⅲ）利用

n2

=(x2，y2，z2)是平面AB₁C₁的法向量，通过

n2

•

AB1

=0，

n2

•

AC1

=0得到

n2

=(1，0，1)，利用B到平面AB₁C₁的距离公式可得d=

| AB • n2 |

| n2 |

=

2

．

解答：解法一：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC

所以CC₁⊥AC
因为BC=CC₁，所以BCC₁B₁为正方形
又∠ACB=90°，所以AC⊥BC
所以AC⊥平面BCC₁B₁…（2分）
连结B₁C，则B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁上的射影
因为B₁C⊥BC₁，所以AB₁⊥BC₁…（4分）
（II）因为A₁C交AC₁于H，连BH
因为BC⊥AC，BC⊥CC₁，BC⊥平面ACC₁A₁…（6分）
所以CH为BH在平面ACC₁A₁上的射影
因为四边形ACC₁A₁为正方形，所以CH⊥AC₁
所以BH⊥AC₁
所以，∠CHB为二面角C-AC₁-B的平面角…（7分）
在直角△BCH中，CH=

2

，BC=2
所以tan∠CHB=

2

…（8分）
所以，二面角C-AC₁-B的大小为arctan

2

…（9分）
（III）因为BC∥B₁C₁，BC?面AB₁C₁
所以BC∥面AB₁C₁
所以点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离…（11分）
因为BC⊥CH，所以B₁C₁⊥CH
又CH⊥AC₁，所以CH⊥平面AB₁C₁
所以CH的长度为点B到平面AB₁C₁的距离CH=

1

2

A1C=

2

…（13分）
解法二：（I）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点．


依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）…（2分）
因为

AB1

•

BC1

=(-2，2，2)•(0，-2，2)=0
所以AB₁⊥BC₁…（4分）
（II）因为BC⊥AC，BC⊥CC₁
所以

CB

为平面ACC₁的法向量，

CB

=(0，2，0)…（5分）
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABC₁的法向量
由

n1

•

AB

=0，

n1

•

AC1

=0得

-x1+y1=0 -x1+z1=0

，所以

x1=y1 x1=z1

令z₁=1，则

n1

=(1，1，1)…（6分）
因为cos＜

CB

，

n1

＞=

CB • n1

| CB || n1 |

=

2

3 ×2

=

3

3

（8分）
所以，二面角C-AC₁-B的大小为arccos

3

3

…（9分）
（III）设

n2

=(x2，y2，z2)是平面AB₁C₁的法向量
由

n2

•

AB1

=0，

n2

•

AC1

=0得

-x2+y2+z2=0 -x2+z2=0

，所以

y2=0 x2=z2

令z₂=1，则

n2

=(1，0，1)…（11分）
因为

AB

=(-2，2，0)，所以，
B到平面AB₁C₁的距离为d=

| AB • n2 |

| n2 |

=

2

…（13分）

点评：本题考查空间直线与直线的垂直，二面角以及点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．