题目内容
已知数列{an} 满足：a1=1，a2=
，，且an+2=
（n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{
}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前n行所有数的和Sn
…
… …
．
| 1 |
| 2 |
| an+12 |
| an+an+1 |
（Ⅰ）求证：数列{
| an |
| an+1 |
（Ⅱ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前n行所有数的和Sn
| a1a1 |
| a2 |
| a1a2 |
| a3 |
| a2a1 |
| a3 |
…
| a1an |
| an+1 |
| a2an-1 |
| an+1 |
| ana1 |
| an+1 |
分析：（Ⅰ）由条件a1=1，a2=
，an+2=
（n∈N*），得
=
．所以
-
= 1，由此能够证明数列{
}为等差数列．
（Ⅱ）由
=
+(n-1)•1=n+1，知
=
•
…
=2×3×…×n=n!，由此能求出an=
．
（Ⅲ）由
=
，（k=1，2，3，…，n），知第n行各数之和
+
+…+
=2n+1-2．由此能求出表中前n行所有数的和Sn．
| 1 |
| 2 |
| an+12 |
| an+an+1 |
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an+an+1 |
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+1 |
| an |
| an+1 |
（Ⅱ）由
| an |
| an+1 |
| a1 |
| a2 |
| a1 |
| an |
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an-1 |
| an |
| 1 |
| n! |
（Ⅲ）由
| akan-k+1 |
| an+1 |
| (n+1)! |
| k!(n-k+1)! |
| a1an |
| an+1 |
| a2an-1 |
| an+1 |
| ana1 |
| an+1 |
解答：解：（Ⅰ）由条件a1=1，a2=
，an+2=
（n∈N*），
得
=
．
∴
-
= 1，
∴数列{
}为等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
+(n-1)•1=n+1，
∴
=
•
…
=2×3×…×n=n!，
∴an=
．…（8分）
（Ⅲ）∵
=
，（k=1，2，3，…，n） …（10分）
∴第n行各数之和
+
+…+
=Cn+11+Cn+21+…+Cn+1n
=2n+1-2．
∴表中前n行所有数的和
Sn=（22-2）+（23-2）+…+（2n+1-2）
=（22+23+…+2n+1）-2n
=
-2n
=2n+2-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）
| 1 |
| 2 |
| an+12 |
| an+an+1 |
得
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an+an+1 |
∴
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+1 |
∴数列{
| an |
| an+1 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
| an |
| an+1 |
| a1 |
| a2 |
∴
| a1 |
| an |
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an-1 |
| an |
∴an=
| 1 |
| n! |
（Ⅲ）∵
| akan-k+1 |
| an+1 |
| (n+1)! |
| k!(n-k+1)! |
∴第n行各数之和
| a1an |
| an+1 |
| a2an-1 |
| an+1 |
| ana1 |
| an+1 |
=Cn+11+Cn+21+…+Cn+1n
=2n+1-2．
∴表中前n行所有数的和
Sn=（22-2）+（23-2）+…+（2n+1-2）
=（22+23+…+2n+1）-2n
=
| 22(2n-1) |
| 2-1 |
=2n+2-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）
点评：本题考查等差数列的证明和数列驼项公式的求法和求数列的前n项和．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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