Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，证明数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a≠3时，

bn+1

bn

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

=2
所以{b_n}为等比数列．                                                   （4分）
（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1．                                 （2分）
所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*an=

a 2×3n-1+(a-3)×2n-2

，

n=1 n≥2

；                                （6分）
（3）a_n+1≥a_n，

a2＞a1 an+1＞an

，

n＞2

，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3．                                                  （6分）