Question

数列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

an

2an+1

（n=1，2，3，…）
（1）求a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，在an+1=

an

2an+1

中分别令n=1，求出a₂，n=2求出a₃．即可．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：an=

1

2n

，检验n=1时等式成立，假设n=k（k≥1）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）a2=

a1

2a1+1

=

1 2

2× 1 2 +1

=

1

4

a3=

a2

2a2+1

=

1 4

2× 1 4 +1

=

1

6

（2）由此，猜想an=

1

2n

下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，左边=a1=

1

2

，右边=

1

2×1

=

1

2

，结论成立  
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即ak=

1

2k

那么ak+1=

ak

2ak+1

=

1 2k

2× 1 2k +1

=

1

2k+2

=

1

2(k+1)

也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即an=

1

2n

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时务必用上假设．