Question

在圆x²+y²=r²（r＞0）中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k_AC•k_BC=-1．你能用类比的方法得出椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中有什么样的结论？并加以证明．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，由圆的性质类比猜想椭圆的类似性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于椭圆的一个类似结论．

解答：解：类比得到的结论是：在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，A，B分别是椭圆长轴的左右端点，C（x，y）点是椭圆上不同于A，B的任意一点，由kAC•kBC=-

b2

a2

证明：设A（x₀，y₀）为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B（-x₀，-y₀），点P（x，y）为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP•kBP=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

．
由于A，B，P三点在椭圆上，∴

x2 a2 + y2 b2 =1 x 2 0 a2 + y 2 0 b2 =1.

两式相减，有

x2- x 2 0

a2

+

y2- y 2 0

b2

=0，
∴

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

，即kAP•kBP=-

b2

a2

．
故椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为异于A，B的椭圆上的任意一点，则有kAP•kBP=-

b2

a2

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．