Question

（2012•台州一模）如图，设经过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为

π

4

，求线段AB中点的坐标；
（Ⅱ）已知以线段AB为直径的圆始终与定圆(x-

3

2

)2+y2=r2(r＞0)内切，求实数r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，可得线段AB中点的坐标；
（Ⅱ）求出以线段AB为直径的圆始终的方程，利用圆与定圆(x-

3

2

)2+y2=r2(r＞0)内切，圆心距等于半径之差，即可求实数r的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得直线l为y=x-1，…（1分）
代入抛物线C方程得y²-4y-4=0．…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D的坐标为（x₀，y₀），
因为△=32＞0，则y0=

y1+y2

2

=2，x₀=y₀+1=3，…（4分）
所以线段AB的中点D的坐标为（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）设直线l方程为x=ty+1，…（6分）
代入抛物线C方程得y²-4ty-4=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D的坐标为（x₀，y₀），
因为△=16t²+16＞0，所以

y1+y2=4t y1y2=-4

．…（8分）
所以y0=

y1+y2

2

=2t，x0=ty0+1=2t2+1，
所以线段AB的中点D的坐标为（2t²+1，2t）．…（10分）
以线段AB为直径的圆的半径为r1=

|AB|

2

=

|FA|+|FB|

2

=

t(y1+y2)+4

2

=2t2+2，
记圆(x-

3

2

)2+y2=r2的圆心为E(

3

2

，0)，
则|DE|=

(2t2- 1 2 )2+4t2

=2t2+

1

2

，
所以|r1-r|=|2t2+2-r|=|DE|=2t2+

1

2

，…（12分）
进而2-r=

1

2

或r=4t2-

3

2

（不为常数），…（13分）
所以r=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程求解，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．