Question

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件a＞0，知函数是二次函数，其图象是开口向上的抛物线．因此讨论对称轴：x=

1

a

与区间[1，3]的关系，得到函数的单调性后再找出相应的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通过求导数，讨论其正负，可得到函数g（a）在区间[

1

3

，

1

2

]上单调减，而在（

1

2

，1]上单调增，因此不难得出
g（a）的最小值为g（

1

2

）=

1

2

．

解答：解：（1）当

1

3

≤a≤

1

2

时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（1），
此时g（a）=f（1）-f（

1

a

）=a+

1

a

-2；
当

1

2

＜a≤1时N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（3），
此时g（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6；
∴g（a）=

a+ 1 a -2         1 3 ≤ a≤ 1 2 9a+ 1 a -6    1 2 ＜a≤1

      …（6分）
（2）当

1

3

≤a≤

1

2

时，∵g（a）=a+

1

a

-2，∴g′（a）=1-

1

a2

＜0，
∴g（a）在[

1

3

，

1

2

]上单调递减．
同理可知g（a）在（

1

2

，1]上单调递增
∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

．…（12分）

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．研究二次函数的最值的关键是用其图象，或用导数研究它的单调性．