Question

已知函数f(x)=

x

x+1

，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；（Ⅱ）若bn=

2

an

+1，对任意正整数n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立，求正数k的取值范围．
（Ⅲ）求证：

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＜

33

20

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n+1=f（a_n）得an+1=

an

an+1

?

1

an+1

-

1

an

=1，则数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{

1

an

}是的通项，从而求出所求；
（Ⅱ）根据bn=

2

an

+1⇒bn=2n+1，将k分离出来得k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)，记g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)，根据

g(n+1)

g(n)

＞1得到g（n）在n∈N^*上递增，可求出正数k的取值范围．
（Ⅲ）根据

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

(n- 1 2 )(n+ 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，代入可得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意a_n+1=f（a_n）?an+1=

an

an+1

?

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．           …（2分）
∴

1

an

=n，即an=

1

n

．                                 …（4分）
（Ⅱ）证明：由bn=

2

an

+1⇒bn=2n+1，

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0
即k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)…（6分）
记g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)g(n+1)=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)
则

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

=

4n2+16n+16

4n2+16n+15

＞1，
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N^*上递增，
g(n)min=g(1)=

4 5

15

，∴k∈(0，

4 5

15

]．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

(n- 1 2 )(n+ 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

∴

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＜1+

1

4

+

1

3- 1 2

-

1

3+ 1 2

+

1

4- 1 2

-

1

4+ 1 2

+…+

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

=1+

1

4

+

2

5

-

2

2n+1

＜

33

20

．            …（12分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列的判定和数列的函数特性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．