题目内容
已知函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）．（1）设x1是f（x）的一个极大值点，x2上g（x）的一个极小值点，求|x1-x2|的最小值；
（2）若f′（α）=g′（α），求g(α+
| π | 6 |
分析：（1）根据x1是f（x）的一个极大值点，x2上g（x）的一个极小值点，推出x1、x2的关系，得到|x1-x2|的表达式，然后求出最小值；
（2）求出函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）的导函数，利用f′（α）=g′（α），求出2α+φ的值，再求g(α+
)的表达式，代入2α+φ值，即可解得所求表达式的值．
（2）求出函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）的导函数，利用f′（α）=g′（α），求出2α+φ的值，再求g(α+
| π |
| 6 |
解答：解：（1）由题意，得2x1+φ=2k1π+
，2x2+φ=2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z（2分）
于是|x1-x2|=|（k1-k2）π-
|≥
，当k1=k2时等号成立．（4分）
所以|x1-x2|的最小值为
．（6分）
（2）因为f′（x）=2cos（2x+φ），g′（x）=-2sin（2x+φ），（8分）
由f′（α）=g′（α），得cos（2α+φ）=-sin（2α+φ），即tan（2α+φ）=-1，
所以2α+φ=kπ-
，（k∈Z），（10分）
所以g(α+
)=cos(2α+φ+
)=cos(2α+φ)cos
-sin(2α+φ)sin
=-(cos
+sin
)sin(2α+φ)=-
sin(kπ-
)（12分）
当k为偶数时，g(α+
)=
；当k为奇数时，g(α+
)=-
．（14分）
| π |
| 2 |
于是|x1-x2|=|（k1-k2）π-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
所以|x1-x2|的最小值为
| π |
| 4 |
（2）因为f′（x）=2cos（2x+φ），g′（x）=-2sin（2x+φ），（8分）
由f′（α）=g′（α），得cos（2α+φ）=-sin（2α+φ），即tan（2α+φ）=-1，
所以2α+φ=kπ-
| π |
| 4 |
所以g(α+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
1+
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
当k为偶数时，g(α+
| π |
| 6 |
| ||||
| 4 |
| π |
| 6 |
| ||||
| 4 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质，导数的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力，分类讨论思想．
练习册系列答案
相关题目
