Question

（本小题14分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角.

   （1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （2）求C₁到平面B₁AC的距离；

   （3）求三棱锥A₁—AB₁C的体积.

Answer 1

解：（1）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，

∴B₁B⊥AC，

又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，

∴AC⊥平面 ABB₁A₁，

又AC平面B₁AC，

∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁.    

   （2）解：∵A₁C₁∥AC, 平面B₁AC

     ∴A₁C₁∥平面B₁AC

∴C₁到平面B₁AC的距离就是求A₁到平面B₁AC的距离

过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连结CM，

∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，

∴A₁M⊥平面B₁AC.

∴C₁到平面B₁AC的距离为 

（3）解：∵直线B₁C与平面ABC成30°角，

∴∠B₁CB=30°.

可得B₁C=2a，BC=，

∴