Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=(cos

3A

2

，sin

3A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且满足|

m

+

n

|=

3

，
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=

3

a，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和向量模的条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
（2）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和b+c=

3

a．根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果．

解答：解：（1）∵|

m

+

n

|=

3

，∴|

m

+

n

| 2=2+  cosA=3，∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

（2）∵b+c=

3

a，∴a2=

(b+c)2

3

，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2b2-2bc+2c2

6bc

=

1

2

，∴2b²-5bc+2c²=0，∴b=2c，b=

c

2

    当b=2c时，a²+c²=3c²+c²=4c²=b²，△ABC是以∠C为直角的直角三角形
    当b=

c

2

时，a²+b²=c²，△ABC是以∠B为直角的直角三角形
    终上所述：△ABC是直角三角形

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．