Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）设，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：T_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，两式作差变形可得，要注意n=1的情况．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，表示T_n=2×观察结构，用错位相减法求解．
解答：解：（Ⅰ）在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，则a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即
∵∴b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1
又∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列
于是b_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
从而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以T_n=2×

两式相减得
=1+-（n+1）（）ⁿ⁺¹=
∴
∵
∴数列{T_n}是增数列故，命题得证．
点评：本题主要考查数列的转化与变形求通项公式及用错位相减法求前n项和．