题目内容

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，正方体内衣球O₁与面ABCD，BCC₁B₁，ABB₁A₁均相切，正方体内另一球O₂与面ADD₁A₁，A₁B₁C₁D₁，CDD₁C₁均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是________．

（ $\text{[math]}$ ）π
分析：设球O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，可得BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁=（1+ $\text{[math]}$ ）（r₁+r₂）= $\text{[math]}$ ，从而得到r₁+r₂= $\text{[math]}$ ．再根据基本不等式，得r₁²+r₂²≥ $\text{[math]}$ （r₁+r₂）²= $\text{[math]}$ ，当且仅当r₁=r₂= $\text{[math]}$ 时等号成立，由此结合球的表面积公式，即可得到两球表面积之和的最小值．
解答：

解：根据题意，得
BD₁=BO₁+O₁O₂+O₂D₁= $\text{[math]}$ AA₁= $\text{[math]}$ ，
设球O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，根据正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，得BO₁= $\text{[math]}$ r₁，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D₁= $\text{[math]}$ r₂，
∴（ $\text{[math]}$ +1）（r₁+r₂）= $\text{[math]}$ ，得r₁+r₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由基本不等式，得2（r₁²+r₂²）≥（r₁+r₂）²=3- $\text{[math]}$ ，
∴r₁²+r₂²≥ $\text{[math]}$ ，当且仅当r₁=r₂= $\text{[math]}$ 时等号成立
因此，两球表面积之和S₁+S₂=4π（r₁²+r₂²）≥（ $\text{[math]}$ ）π
故答案为：（ $\text{[math]}$ ）π
点评：本题给出正方体内两个相切的球分别与正方体的三个面相切，求两个球的表面积之和的最小值，着重考查了正方体的性质和球与平面、球与球相切的性质，基本不等式及球的表面积公式等知识，属于中档题．