题目内容
已知实数a＞0，f(x)=
方程f(x)=
a2有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围
|
| 7 |
| 16 |
(
，4]
4
| ||
| 7 |
(
，4]
．4
| ||
| 7 |
分析：根据条件确定方程f(x)=
a2在x≤1时有且仅有1个实根，然后根据二次函数的图象和性质，确定a的取值范围即可．
| 7 |
| 16 |
解答：解：设比较大的根为x1，则x1＞3，
此时由f(x)=
a2=log3x＞log33=1，
即a 2＞
，即a＞
=
．
∵方程f(x)=
a2有且仅有两个不等实根，
∴当x≤1时，方程f(x)=
a2有且仅有1实根，
即-x 2+2ax=
，在x≤1时，只有一个根．
∴x 2-2ax+
=0，
设g（x）=x 2-2ax+
，（x≤1），
函数的对称轴为x=a，
若a≥1，
∵g（0）=
＞0，
∴此时满足g（1）≤0，（图1）
即g（1）=1-2a+
≤0，
∴7a2-32a+16≤0，
解得
≤a≤4，∴此时1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）=
＞0，
∴此时满足g（1）＜0，
即g（1）=1-2a+
＜0，
∴77a2-32a+16＜0，
解得
＜a＜4，∴此时
＜a＜1，
∴
＜a≤4，
又a＞
，
∴
＜a≤4，
即实数a的取值范围是(
，4]，
故答案为：(
，4]．
此时由f(x)=
| 7 |
| 16 |
即a 2＞
| 16 |
| 7 |
|
4
| ||
| 7 |
∵方程f(x)=
| 7 |
| 16 |
∴当x≤1时，方程f(x)=
| 7 |
| 16 |
即-x 2+2ax=
| 7a2 |
| 16 |
∴x 2-2ax+
| 7a2 |
| 16 |
设g（x）=x 2-2ax+
| 7a2 |
| 16 |
函数的对称轴为x=a，
若a≥1，
∵g（0）=
| 7a2 |
| 16 |
∴此时满足g（1）≤0，（图1）
即g（1）=1-2a+
| 7a2 |
| 16 |
∴7a2-32a+16≤0，
解得
| 4 |
| 7 |
若0＜a＜1，
∵g（0）=
| 7a2 |
| 16 |
∴此时满足g（1）＜0，
即g（1）=1-2a+
| 7a2 |
| 16 |
∴77a2-32a+16＜0，
解得
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
∴
| 4 |
| 7 |
又a＞
4
| ||
| 7 |
∴
4
| ||
| 7 |
即实数a的取值范围是(
4
| ||
| 7 |
故答案为：(
4
| ||
| 7 |
点评：本题考查了方程的根的个数、函数零点判断等等知识点，综合性较强，难度较大．采用数形结合是此种问题的常用解法．
练习册系列答案
文敬图书课时先锋系列答案
相关题目