题目内容

18．求数列an=n2的前n项和．

分析 通过（n+1）3-（n-1）3=6•n2+2、n3-（n-2）3=6•（n-1）2+2、…、53-33=6•42+2、43-23=6•32+2、33-13=6•22+2、23-03=6•12+2，累加、化简即得结论．

解答 解：由题可知Sn=12+22+32+…+n2，
∵（n+1）3-（n-1）3=6•n2+2，
n3-（n-2）3=6•（n-1）2+2，
…
53-33=6•42+2，
43-23=6•32+2，
33-13=6•22+2，
23-03=6•12+2，
累加得：（n+1）3+n3-13-03=6•（12+22+32+…+n2）+2n，
整理得12+22+32+…+n2=$\frac{（n+1）^{3}+{n}^{3}-1-2n}{6}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
即Sn=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．

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