Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小。

Answer 1

解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点 在中，EO是中位线， ∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB 。
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD， ∴ ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴。 ① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。 ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC。 而平面PDC， ∴。 ② 由①和②推得平面PBC。 而平面PBC， ∴ 又且， 所以PB⊥平面EFD。 （3）由（2）知，，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角。 由（2）知，。 设正方形ABCD的边长为a，则，  ，，。 在中，。 在中，sin∠EFD=， ∴∠EFD=。 所以，二面角C-PB-D的大小为。