Question

已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0，4

3

]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于

 

．

Answer 1

分析：根据当圆锥的轴截面顶角≥90°时，过顶点的截面面积的最大值为

1

2

l²；判断圆锥的轴截面的顶角＜90°，利用

1

2

×2r×

42-r2

=4

3

，求出r，根据侧面展开图扇形圆心角θ=

r

l

•2π求θ．

解答：解：∵圆锥的轴截面顶角≥90°时，过顶点的截面面积的最大值为

1

2

×4×4=8＞4

3

∴圆锥的轴截面为锐角三角形
∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，
则

1

2

×2r×

42-r2

=4

3

（r为圆锥底面半径），
解得r=2或r=2

3

．
∴侧面展开图扇形圆心角θ=

r

l

•2π=

2

4

•2π=π，或θ=

2 3

4

•2π=

3

π．
∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π或

3

π．
故答案是π或

3

π．

点评：本题考查了过圆锥的顶点的截面面积问题，考查了圆锥侧面展开图的圆心角公式，当圆锥的轴截面顶角≥90°时，过顶点的截面面积的最大值为

1

2

l²；
当圆锥的轴截面顶角＜90°时，过顶点的截面面积的最大值为轴截面面积．