Question

已知

a

=（x，0），

b

=（1，y），（

a

+

3

b

）⊥（

a

-

3

b

）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=3x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且|

AD

|=|

BD

|，试求m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知x²=3+3y²，由此能得到P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）.

y=3x+m x2 3 -y2=1

，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理和根的判别式能够求出m的值．

解答：解：（1）由已知

a

2=3

b

2（2分）
即x²=3+3y²，所以P的轨迹方程为

x2

3

-y2=1（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）．

y=3x+m x2 3 -y2=1

，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理得：x1+x2=-

9m

13

，则x0=-

9m

26

，y0=-

m

26

，（8分）
则AB垂直平分线方程为y+

m

26

=-

1

3

(x+

9m

26

)，
又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得m=

13

2

（11分）
（注：也可由DE的斜率为-

1

3

，得

- m 26 +1

- 9m 26

=-

1

3

，解得m=

13

2

）
由△＞0，得m²＞26
所以m=

13

2

时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，
所以m=

13

2

．（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．