Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1 ， F2分别是椭圆E： 的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且 ．

（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2 ， 试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ．

∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，

故椭圆E的离心率为

（2）解：存在满足条件的常数λ， ．

∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3， ，

左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为 ．

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为 ，

代入椭圆方程 ，整理得， ．

∵ ，∴ ．

从而 ，故点 ．同理，点 ．

∵三点M、F1、N共线，∴ ，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．

从而 ．

故 ，从而存在满足条件的常数λ，

【解析】（1）由 ，得 ，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），则直线MD的方程为 ，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．