Question

不等式组

y≤x y≥0 x≤4

表示的平面区域为A．
（Ⅰ）画出平面区域A，并求面积；
（Ⅱ）点（x，y）在平面区域内，求z=2x+y的取值范围；
（Ⅲ）一次函数y=

1

2

x+b的图象平分区域A的面积，求b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M，最后可用三角形面积公式求出区域M的面积；
（Ⅱ）再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点（4，4），点（0，0）时，z取得最值即可；
（Ⅲ）由于一次函数y=

1

2

x+b的图象平分区域A的面积，可对得到的b分类讨论即可．

解答：解：（Ⅰ）不等式y≤x表示直线y=x及直线下方的平面区域；
不等式y≥0表示直线y=0及直线上方的平面区域；
不等式x≤4表示直线x=4及直线左侧的平面区域．
∴这三个平面区域的公共部分，就是原不等式组所表示的平面区域．
由图象可得：S=

1

2

×4×4=8；
（Ⅱ）将目标函数变形为y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，
当它经过（4，4）时截距z最大为12；
当它经过（0，0）时截距z最小为0．
∴z的取值范围是[0，12]；
（Ⅲ）y=

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2

x+b的图象经过区域A时，b∈[-2，2]，
当b∈[-2，0）时，S=

1

2

(b+2)(4+2b)=4，
∴b+2=2，b=0（舍）
当b∈[0，2]时，S=

1

2

(4-2b)(4-2-b)=4，
∴-b+2=2，b=0（舍）
∴b=0

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足条件的可行域是解答的关键．