Question

已知函数f(x)=

x+3

x

：
（1）写出此函数的定义域和值域；      
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数；
（3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）f（x）=1+

3

x

，根据y=

3

x

≠0可求函数f（x）的值域；
（2）设0＜x₁＜x₂，通过作差比较f（x₂）与f（x₁）的大小，由函数单调性的定义可以证明；
（3）先表示出g（x），求出定义域看是否关于原点对称，再判断g（-x）与g（x）的关系，由奇偶函数的定义可以判断．

解答：（1）解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f(x)=1+

3

x

，∴值域为{y|y≠1}．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则：f(x2)-f(x1)=(1+

3

x2

)-(1+

3

x1

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1•x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）解：函数定义域关于原点对称，
设g(x)=(x-3)f(x)=

x2-9

x

，
∵g(-x)=

x2-9

-x

=-g(x)，
∴此函数为奇函数．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性，属基础题，定义是解决相关题目的基本方法．