Question

已知中心在原点的双曲线的焦点为F₁(-5,0)、F₂(5,0),渐近线方程为3x±4y=0,求此双曲线的方程.

Answer 1

分析:由已知渐近线方程可得出a、b间的关系,再由c²=a²+b²可求出a、b,并求出双曲线的方程,也可以利用双曲线系方程求解.

解法一:∵渐近线方程为3x±4y=0,即y=±x.

∵焦点F₁(-5,0)、F₂(5,0)在x轴上,

∴.设a=4k,b=3k,c=5.

由a²+b²=c²,得16k²+9k²=25,即k²=1.

∴a²=16,b²=9.

∴双曲线方程为

解法二:∵双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,

∴可设双曲线系方程为9x²-16y²=λ(λ＞0),

即

∴a²=,b²=,c=5,

∴解得λ=9×16.

故双曲线方程为.

绿色通道：

解法一是基本解法;解法二的设法是根据双曲线的标准方程与相应渐近线的关系来设的.比如对应的渐近线方程为而当已知渐近线方程为时,我们可设对应的双曲线方程为,其中λ为待定量.