Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x
（1）求函数f（x）的解析式
（2）令g（x）=f（|x|）+a（a∈R），若函数g（x）有4个零点，求实数a的范围．

Answer 1

解：设f（x）=ax²+bx+c则f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，f（x）+2x=ax²+bx+c
∵f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x
∴a=1，b=-1，c=3
∴f（x）=x²-x+3
（2）依题意函数f（|x|）的图象与直线y=-a有4个交点．由图可知：＜-a＜3
∴-3＜a＜-
分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．
点评：本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．