Question

设正整数列{a_n}的前n项和为S_n,且S_n=(a_n+),猜想出a_n,并用数学归纳法证明.

Answer 1

思路分析:观察、归纳、猜想、证明是经常应用的综合性数学方法.其中,观察规律是解决问题的前提条件.需要运用不完全归纳法合理地试验和整理,提出合理的猜想,最好再多检验一个,以达到解决问题的目的.

解:n=1时,a₁=S₁=(a₁+),∴a₁²=1,又∵a_n＞0,∴a₁=1.

n=2时,S₂= (a₂+)=a₁+a₂,

∴a₂²+2a₂-1=0.

又∵a_n＞0,

∴a₂=-1.

n=3时,S₃=(a₃+)=a₁+a₂+a₃,

∴a₃²+a₃-1=0.又∵a_n＞0,

∴a₃=.

规律已基本形成,由此猜想

a_n=.

下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,a₁==1,命题成立.

(2)假设n=k时命题成立,即a_k=,

则当n=k+1时,a_k+1=S_k+1-S_k=(a_k+1+)-(a_k+)

=(a_k+1+)-(+)

=(a_k+1+)-.

∴a_k+1²+-1=0.

又∵a_n＞0,∴a_k+1=-,则n=k+1时,命题也成立.

由(1)(2)知对一切正整数n,命题均成立.