Question

（2012•济南三模）已知函数f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）的图象经过点（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的周期及单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由函数的图象经过点（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0），建立方程，即可求得实数a，b的值；
（2）先将函数化简为f（x）=sin（2x-

π

6

），由此可求函数f（x）的周期及单调增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）的图象经过点（

π

3

，

1

2

），（

7π

6

，0）．
∴

3 × 3 2 a+b= 1 2 - 3 a 2 - 3 2 =0

------（3分）
∴a=1，b=-1------（6分）
（2）由（1）知：函数f（x）=

3

asinx+bcos（x-

π

3

）=

3

sinx-cos（x-

π

3

）=sin（x-

π

6

）
∴函数f（x）的周期T=2π           （10分）
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即函数的增区间[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]k∈Z．（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．