Question

15．命题p：?x＞0，x+$\frac{1}{x}$＞a；命题q：?x₀∈R，x₀²-2ax₀+1≤0．
（1）若￢p为真命题，则求a的取值范围；
（2）若p∧q为假命题，则求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别解出p，q为真时的a的范围，结合复合命题的判断进而求出满足条件的a的范围即可．

解答 解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立，只需a＜（x+$\frac{1}{x}$）_min，
又∵当x＞0时，（x+$\frac{1}{x}$）≥2（当且仅当x=1时取“=”，
∴p为真时：a＜2，
不妨设q为真，要使得不等式有解只需△≥0，即（-2a）²-4≥0，
解得：a≤-1或a≥1，
∴q为真时：a≤-1或a≥1；
（1）若￢p为真命题，则p为假命题，
∴a≥2；
（2）若“p∧q”为假命题，故q，p一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-1＜a＜1}\end{array}\right.$，解得：-1＜a＜1，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≤-1或a≥1}\end{array}\right.$，解得：a≥2，
∴实数a的取值范围为a≥2或-1＜a＜1．

点评 本题考查了复合命题的真假的判断，考查了不等式问题，是一道中档题．