Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2sin2

A+B

2

=1-cos2C，a+b=5，c=

7

．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的内角和以及二倍角的余弦函数，转化已知等式为C的余弦函数值，即可求角C的大小；
（2）利用余弦定理以及已知条件求出ab的值，然后利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．

解答：解：（1）由2sin2

A+B

2

=1-cos2C，得2cos2

C

2

=1-cos2C，
所以2

1+cosC

2

=(2-2cos2C)
整理，得2cos²C+cosC-1=0------------------------------------------（4分）
解得：cosC=

1

2

，cosC=-1（舍去）
∴C=60°--------------------------------------------------------（7分）
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab---------①
又a+b=5，∴a²+b²+2ab=25---------------------------------②，
①②联立解得，ab=6--------------------------------------------（12分）
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

---------------------------------（14分）

点评：本题考查二倍角的余弦函数的应用余弦定理以及三角形的面积公式的应用，考查计算能力．