Question

试证:一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

Answer 1

分析：

本题中一正根和一负根包含两层意思,首先是有根,其次是在有根的前提下,一根为正、一根为负.因此有:(1)Δ＞0,(2)x₁x₂＜0，反之,如果上述两点成立,则方程有一正根一负根.

解：必要性:由于方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根,

所以Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0.

所以ac＜0.

充分性:由ac＜0可推得Δ=b²-4ac＞0及x₁x₂=＜0.

所以方程ax²+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根.

绿色通道：

(1)证明充要条件,即证明命题的原命题和逆否命题都成立.证明充要性时一定要注意分类讨论,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性证,而又将必要性错当充分性证.

(2)本例也可以结合二次函数的图象进行论证:设f(x)=ax²+bx+c,然后根据二次函数图象的开口方向分两种情况进行讨论:①当a＞0时,开口向上,这时有f(0)＜0,即c＜0,所以ac＜0.②当a＜0时,开口向下,这时有f(0)＞0,即c＞0,所以ac＜0;反之亦然.