Question

（2012•温州一模）如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

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，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E．
（1）求证：BC=DE；
（2）求CE与平面ACD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由E是顶点A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，结合已知可证得CD垂直于平面AED，则CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用边的关系得到BCDE为正方形，则问题得证；
（2）取AD的中点H，则EH⊥AD，连接CH，可得∠ECH是直线CE与平面ACD所成的角，即可得出结论．

解答：（1）证明：如图，
因为顶点A在底面BCD上的射影为E，所以AE⊥平面BCD，则AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，则CD⊥平面AED，
又DE?平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，则四边形BCDE为矩形，又BC=CD，
则四边形BCDE为正方形，故BC=DE．
（2）解：由已知可得AD=6

2

，AE=ED=6，取AD的中点H，则EH⊥AD，连接CH
则∵CD⊥平面AED，∴CD⊥EH
∴EH⊥平面ACD
∴∠ECH是直线CE与平面ACD所成的角
∵EH=3

2

，CE=6

2

∴sin∠ECH=

EH

EC

=

1

2

∴∠ECH=30°，
即直线CE与平面ACD所成的角30°．

点评：本题考查了直线和平面垂直的性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．