Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

tanθ•cosx+

3

8

tanθ-

3

2

，其中x∈[0，

π

2

]，θ∈[0，

π

3

]
（1）若θ=

π

3

时，求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）是否存在实数θ，使得函数f（x）最大值是-

1

8

？若存在，求出对应的θ值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的关系式将f（x）化为f（x）=-(cosx-

3

2

)2+

17

8

，利用余弦函数的性质与二次函数的性质可求其最大值；
（2）将f（x）的关系式配方整理，可得f（x）=-(cosx-

3 tanθ

2

)2+

3tan2θ

4

+

3 tanθ

8

-

1

2

，令a=

3 tanθ

2

，a∈[0，

3

2

]，
分1＜a≤

3

2

与0≤a≤1讨论，利用f（x）_max=-

1

8

即可求得θ的值．

解答：解：（1）f（x）=1-cos²x+3cosx+

3

8

-

3

2

=-(cosx-

3

2

)2+

17

8

，
当cosx=1，即x=0时，f（x）_max=

15

8

…5分
（2）f（x）=-(cosx-

3 tanθ

2

)2+

3tan2θ

4

+

3 tanθ

8

-

1

2

，
当0≤x≤

π

2

时，0≤cosx≤1，令a=

3 tanθ

2

，则a∈[0，

3

2

]…7分
f（x）=-（cosx-a）²+a²+

a

4

-

1

2

，
若

3

2

≥a＞1时，则当cosx=1时，f（x）_max=2a+

a

4

-

3

2

=-

1

8

，
⇒a=

11

18

＜1，
∴此时不成立…10分
当0≤a≤1时，则当cosx=a时，f（x）_max=a²+

a

4

-

1

2

=-

1

8

⇒a=

1

2

或a=-

3

4

（舍去）．
即

3 tanθ

2

=

1

2

，即tanθ=

3

3

，
∴θ=

π

6

综合上述知，存在θ=

π

6

符合题设．…（13分）

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查配方法求最值．突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于难题．