Question

把正奇数列{2n-1}中的数按上小下大，左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表。设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左向右数第个数。

（1）若，求m，n的值；
（2）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为。
①求数列的前n项的和。
②令，设的前n项之积为，求证：。

Answer 1

解：（1）∵，
∴2009是正奇数列的第1005个数。
前m-1行共有个数，
前m行共有个数。
∴，解得m=45，
前44行共有个数，故n=15。
（2）①由，得，
∵第n行第1个数为，
∴，
∴，
∴，
，
两式相减，得，
∴。
②，
∴，
即证：，
先证，
1°当n=1时，显然成立；
2°假设n=k时，，
则当n=k+1时，


，
即当n=k+1时，结论成立。
由1°，2°知，成立，
从而
      ，
即 得证。