Question

在等差数列{a_n}中，S_n为{a_n}的前n项和，Sn=

1

2

n2+

3

2

n．n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=na_n（n∈N^*），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用递推公式可得当n=1时，a1=S1=

1

2

+

3

2

=2当n≥2时当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
（Ⅱ）由（I）可得b_n=n（n+1），从而可得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故考虑利用裂项求和可求

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=

1

2

+

3

2

=2（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1（3分）
检验n=1时，a₁=2，符合上式．（4分）
则a_n=n+1（n∈N^*）．（5分）
（Ⅱ）因为b_n=na_n（n∈N^*），
所以b_n=n（n+1）．（6分）

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（8分）
Tn=

1

b

1+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
所以数列{

1

bn

}的前n项和T_n=

n

n+1

（n∈N^*）．（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．求解数列的通项公式，数列求和的裂项求和，考查了基本运算的能力