Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PA的中点E，连接ME，DE，证明四边形DCME为平行四边形，可得MC∥DE，利用线面平行的判定，可得MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中点N，则可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，从而可求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）取AB的中点H，连接CH，过H作HG⊥PB于G，连接CG，则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角，由此可求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM∥AB，且EM=

1

2

AB．
又∵AB∥DC，且DC=

1

2

AB，
∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又MC?平面PAD，DE?平面PAD
所以MC∥平面PAD；
（Ⅱ）解：取PC中点N，则MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，PA⊥BC，AC⊥BC
∴BC⊥平面PAC，
∴MN⊥平面PAC
∴∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=

1

2

PC=

3

2

，MC=

1

2

PB=

5

2

，
∴cos∠MCN=

NC

MC

=

15

5

；
（Ⅲ）解：取AB的中点H，连接CH，则由题意得CH⊥AB
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CH，则CH⊥平面PAB．
所以CH⊥PB，
过H作HG⊥PB于G，连接CG，则PB⊥平面CGH，所以CG⊥PB，则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角．
∵PA=1，∴CH=1，AB=2，
∵PA=1，AB=2，∴PB=

PA2+AB2

=

5

∴GH=BHsin∠PBA=BH•

PA

AB

=

1

5

，∴tan∠CGH=

CH

GH

=

5

故二面角A-PB-C的平面角的正切值为

5

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，面面角，考查学生的计算能力，掌握线面平行，面面垂直的判定，正确作出线面角是关键．