Question

22.如题(22)图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x=12.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P₁、P₂、P₃，使∠P₁FP₂=∠PFP₃=∠P₃FP₁，证明为定值，并求此定值.

题(22)图

 

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆方程为=1.

因焦点为F(3，0),故半焦距c=3.

又右准线l的方程为x=，从而由已知

=12，x²=36，

因此a=6，b=.

故所求椭圆方程为=1.

(Ⅱ)记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP₁=α，    (i=1，2，3)，不失一般性，假设

0≤α₃＜，且α₂=α₁+，α₃=α₁+.

又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率e=，从而有

|FP₁|=|P_iQ_i|·e=(-c-|FP_i|cos α_i)e

=(9-|FP_i|cosα_i)    (i=1，2，3).

解得  (1+cos α_i)    (i=1，2，3).

因此

[3+(cos α₁+cos(α₁+)+cos(α₁+))]，

而cos α₁+cos(α₁+)+cos(α₁+)

=cos α₁cos α₁sin α₁cos α₁+sin α₁=0，

故为定值.