Question

函数y=3x-x³，x∈[0，3]的值域是________．

Answer 1

[-18，2]
分析：求导函数，结合函数的定义域，确定函数的单调性，求出极值与端点函数值，即可得到结论．
解答：求导函数可得：y′=3-3x²=3（1+x）（1-x）
∴当x∈[0，1]时，y′＞0；当x∈[1，3]时，y′＜0，
∴函数在[0，1]上单调增，[1，3]上单调减
∴函数在x=1时，取得最大值3-1=2；
∵函数在x=0时，函数值为0；函数在x=3时，函数值为-18
∴函数在x=3时，函数取得最小值为-18
∴函数y=3x-x³，x∈[0，3]的值域是[-18，2]．
故答案为：[-18，2]
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是确定函数的单调性．