Question

【题目】已知函数f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a为常数．

(1)试讨论f(x)的单调区间；

(2)当a＝时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1,1－)，单调递减区间为(1－，＋∞)；（2）

【解析】试题分析：(1)求导，通过讨论的符号研究导函数的符号变换得到函数的单调区间；（2）先由（1）得到函数的最值，再分离参数，将问题转化为函数的求值问题，再通过求导进行求解.

试题解析：(1)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}，f′(x)＝a＋＝.

当a≥0时，f′(x)>0在定义域内恒成立，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，

当a<0时，由f′(x)＝0得x＝1－>1，

当x∈时，f′(x)>0；

当x∈时，f′(x)<0，

f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.

综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1,1－)，单调递减区间为(1－，＋∞)．

(2)由(1)知当a＝时，f(x)的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

所以f(x)max＝f(e)＝＋ln(e－1)<0，

所以|f(x)|≥－f(e)＝－ln(e－1)恒成立，当且仅当x＝e时取等号．

令g(x)＝，则g′(x)＝，

当1<x<e时，g′(x)>0；

当x>e时，g′(x)<0，

从而g(x)在(1，e)上单调递增，

在(e，＋∞)上单调递减，

所以g(x)max＝g(e)＝＋，

所以存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，

只需－ln(e－1)－≤＋，

即b≥－－2ln(e－1)．