Question

如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率．
解答：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，
∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a-PF′=2a-2b，
又 MF=PF=（2a-2b）=a-b，又OF=c，
直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可求得离心率 e==，故答案选 B．
点评：本题考查椭圆的定义，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．