Question

（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m-3）x³+9x．
（1）若函数f （x）在区间（-∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）函数f （x）在R上是单调函数，说明y=f'（x）在（-∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x）=3（m-3）x²+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立关于m的不等式即可解出实数m的取值范围．
（2）根据（1）的结论，当m≥3时f （x）在R上为增函数，当m＜3时在区间(-∞，  -

3 3-m

)，(

3 3-m

，  +∞)上单调递减，在区间(-

3 3-m

，  

3 3-m

)单调递增．再根据m的取值结合函数的单调性建立关于m的方程，解得m=-2符合题意，得到本题答案．

解答：解：（1）求导数，得f'（x）=3（m-3）x²+9
∵f'（0）=9＞0，
∴f （x）在区间（-∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）
又∵f'（x）=3（m-3）x²+9≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，
∴

3(m-3)≥0 f′(0)≥0

，解之可得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞）． …（6分）
（2）由（1）的结论，得当m≥3时，f （x）在[1，2]上是增函数，
所以[f （x）]_max=f （2）=8（m-3）+18=4，解得m=

5

4

＜3，不合题意舍去．  …（8分）
当m＜3时，f'（x）=3（m-3）x²+9=0，解之得x=±

3 3-m

．
所以f （x）的单调区间为：在区间(-∞，  -

3 3-m

)，(

3 3-m

，  +∞)上单调递减，
在区间(-

3 3-m

，  

3 3-m

)单调递增．…（10分）
①当

3 3-m

≥2，即

9

4

≤m＜3时，得[1，  2]⊆(-

3 3-m

，  

3 3-m

]，
∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]_max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=

5

4

，不满足题设要求．
②当1＜

3 3-m

＜2，即0＜m＜

9

4

时，可得[f （x）]_max=f(

3 3-m

)=0≠4舍去．
③当

3 3-m

≤1，即m≤0时，则[1，  2]⊆(

3 3-m

，  +∞]，
∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]_max=f （1）=m+6=4，m=-2，符合题意
综上所述，m的值为-2．…（16分）

点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．