Question

已知函数f(x)=

2x+a

2x+1

，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜

1

2

，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（Ⅱ）代入f（x）的解析式，然后化为整式不等式得到2^x＜3，从而解得x的范围．
（Ⅲ）先设自变量值任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，然后通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即得函数的单调性．

解答：解：（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即

2-x+a

2-x+1

+

2x+a

2x+1

=0，

1+a•2x

2x+1

+

2x+a

2x+1

=0?(a+1)(2x+1)=0?a=-1
（Ⅱ）∵

2x-1

2x+1

＜

1

2

?2(2x-1)＜2x+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y'=2^x在R上为增函数，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明及解不等式，定义是解决问题的根本，是个中档题．