Question

已知函数f（x）=（x≥0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若对任意非负实数a，b，c，以f（a），f（b），f（c）为三边都可构成三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵x²+x+1＞0恒成立，∴f（x）＞0恒成立等价于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0时，结论成立；x＞0时，-k＜x+，∵x＞0，∴x+≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
（2）f（x）=
由（1）知：k＞-2
1°、当k=1时，满足题意；
2°、当k＞1时，，由题意知：，∴1＜k＜4
3°、当k＜1时，，于是有，∴1＞
综上，实数k的取值范围为．
分析：（1）f（x）＞0恒成立等价于x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立．x=0时，结论成立；x＞0时，分离参数-k＜x+，利用基本不等式，即可确定实数k的取值范围；
（2）f（x）=，由（1）知：k＞-2，再进行分类讨论，利用以f（a），f（b），f（c）为三边都可构成三角形，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，属于中档题．