Question

下列命题正确的有

（1）、（2）、（4）

（填上序号）
（1）过两圆C₁：x²+y²-4=0，C₂：x²+y²-4x+4y-12=0的交点的直线方程是x-y+2=0．
（2）已知实系数方程f（x）=x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则（a-1）²+（b-2）²的取值范围是（8，17）．
（3）在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，若集合A={n|a₁+a₂+…+a_n-

1

a1

-

1

a2

-…-

1

an

≤0，n∈N^*}，则集合A中有4个元素．
（4）已知△ABC的周长为6，三边a，b，c成等比数列，则△ABC的面积的最大值是

3

．

Answer 1

分析：（1）解法一：因为两圆的交点适合两圆的方程，所以只要将两圆的方程相减即可得到过两圆的交点的直线方程；
解法二：亦可以将两圆的方程联立得到方程组，然后解其方程组得到两圆的交点，通过两点式写出直线方程；
（2）根据函数的零点的判定定理及线性规划的可行域不难求出；
（3）先根据等比数列性质及已知条件将a_n用q来表示，再根据已知条件得到q＞1，通过计算判断出当n≤7时皆符合条件，当然此题若用特例去解可简单一些；
（4）用到等比数列、余弦定理、正余弦函数的单调性、基本不等式及三角形的面积公式等综合知识．（3）、（4）皆有一定的难度．

解答：解答：16（1）（2）（4）
解：（1）解法一：①x²+y²-4=0，②x²+y²-4x+4y-12=0，由①-②即可得过两圆的交点的直线方程是x-y+2=0．
解法二：联立

x2+y2-4=0 x2+y2-4x+4y-12=0

 解得

x=0 y=2

，

x=-2 y=0

 即两圆的交点的坐标为（0，2），（-2，0），由两点式得过两圆的交点的直线的方程是x-y+2=0．
（2）由函数的零点的判定定理得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

 得

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

由线性规划的知识可知其可行域为△ABC内部的点．
再由方程组

b=0 a+2b+1=0

；

a+2b+1=0 a+b+2=0

；

b=0 a+b+2=0

   分别求得点A（-1，0），C（-3，1），B（-2，0）．
易知：|PA|²＜（a-1）²+（b-2）²＜|PC|²⇒8＜（a-1）²+（b-2）²＜17，
故所求的取值范围是（8，17），因此（2）正确．
（3）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列性质可知：a_n=a₄q^n-4=q^n-4，
∵0＜a₁＜a₄=1，∴0＜a₁＜1，∴q³＞1，∴q＞1，
∴a₁-

1

a1

=

1

q3

-q³＜0；
 同理 a₂-

1

a2

＜0，a₃-

1

a3

＜0，a₄-

1

a4

=0；
当n≥5时，a_n-

1

an

=q^n-4-

1

qn-4

＞0；
又（a₁-

1

a1

 ）+（a₇-

1

a7

）=（a₂-

1

a2

）+（a₆-

1

a6

）=（a₃-

1

a3

）+（a₅-

1

a5

）=0，
a₄-

1

a4

=0；
当n≥8时，a₁+a₂+…+a_n-

1

a1

-

1

a2

-…-

1

an

=[（a₁-

1

a1

 ）+（a₇-

1

a7

）]+[（a₂-

1

a2

）+（a₆-

1

a6

）]+[（a₃-

1

a3

）+（a₅-

1

a5

）]+
  （a₄-

1

a4

）+（a₈-

1

a8

）+…+（a_n-

1

an

）
=（a₈-

1

a8

）+…+（a_n-

1

an

）＞0
故当n≤7时，满足集合所给的条件，所以集合A有7个元素．
或用特例法求解如取a_n=2^n-4．
故（3）不正确．
（4）：由题意有a+b+c=6，b²=ac．
在△ABC中，由余弦定理及基本不等式得
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，
解得0＜b≤2．
从而，S_△=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

×22sin

π

3

=

3

．
即三角形为正三角形时，面积最大值为：Smax=

3

．

点评：此题考查的知识及方法比较多，并且需要有一定的逻辑思维能力及较强的计算能力，作为一个填空题在短时间内不容易做正确．