Question

已知函数f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)
（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b-a，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求切线方程为y=-x+1，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数解，从而的解；
（2）利用函数单调减，得mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），通过研究不等式的解集，从而可证，t的取值范围利用基本不等式可解．

解答：解：（1）易知f（x）定义域（-1，+∞）f/(x)=mx-2+

1

x+1

，f/(0)=-1，∴k₂=-1∴切线L：y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点，∴

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数解，显然x=0时成立．
令g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，则g/(x)=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；
②当m＞1时由g′（x）=0得x1=0，x2=

1

m

-1∈(-1，0），从而有x=x₂是极大值点且g（x₂）＞g（0）=0，又当x→-1时，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x₂）内也有一解，矛盾
综上知，m=1．
（2）∵f/(x)=

mx2+(m-2)x-1

x+1

(x＞-1)∴f′（x）＜0?mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）
令h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实数解a，b，即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集为（a，b），故存在单调减区间[a，b]，
则t=b-a=

1+ 4 m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

，
∴t∈(1，

5

]

点评：本题主要考查导数的几何意义，函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．