Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A、B分别为椭圆C的左顶点、上顶点，椭圆C上一动点P，三角形PF₁F₂的面积的最大值为2．在椭圆C上有一点Q，过Q作x轴的垂线恰好过左焦点F₁，且OQ∥AB，过点F₁的直线l交椭圆于D、E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求三角形OPQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•2c$•|y_P|≤c•b=2．把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y．利用OQ∥AB，可得k_OQ=k_AB，可得b=c，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）Q（-$\sqrt{2}$，1），可得|OQ|=$\sqrt{3}$．直线OQ的方程为：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，设P$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，（θ∈[0，2π））．可得点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt{3}}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即可得出S_△OPQ=$\frac{1}{2}d|OQ|$面积的最大值．

解答 解：（1）${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•2c$•|y_P|≤c•b=2，
把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∴k_OQ=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$，
k_AB=-$\frac{b}{a}$．
∵OQ∥AB，
∴k_OQ=k_AB，∴-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{b}{a}$，
化为b=c，
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{bc=2}\end{array}\right.$，解得b=c=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）Q（-$\sqrt{2}$，1），∴|OQ|=$\sqrt{3}$．
直线OQ的方程为：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即x+$\sqrt{2}$y=0．
设P$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，（θ∈[0，2π））．
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}|sin（θ+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{3}}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，当$sin（θ+\frac{π}{4}）$=±1时取等号．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}d|OQ|$≤$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$，
∴三角形OPQ的面积的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．