Question

记F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，对于任意实数a，θ，F（a，θ）的最大值与最小值的和是

4

．

Answer 1

分析：令t=F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，把已知函数转化为关于cosθ，sinθ的方程，利用进而可转化为直线与圆的位置关系，再利用基本不等式，即可求得函数的最值．

解答：解：令t=F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，则2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a²+2）=0①，
令x=cosθ，y=sinθ，则①为2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0，其中x²+y²=1
∴直线2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0与圆x²+y²=1有公共点，
∴

|t-1|(a2+2)

2|a| t2+1

≤1
∴

|t-1|

t2+1

≤

2|a|

a2+2

≤

1

2

∴t²-4t+1≤0
∴2-

3

≤t≤2+

3

∴F（a，θ）的最大值与最小值分别为2+

3

，2-

3

，和是4
故答案为：4

点评：本题考查函数的最值，考查函数与方程思想的运用，考查学生的转化能力，属于中档题．