Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=ksin（x-

π

6

），（k≠0）．
（1）问α去何值时，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数k的取值范围？

Answer 1

（1）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化为2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=

1

2

②当t=-1时，x有惟一解x=

3π

2

③当t=1时，x有惟一解x=

π

2

故a∈（1，5）或a=

1

2

；
（2）当x₁∈[0，3]时，f（x₁）值域为[-

1

8

，10]，
当x₂∈[0，3]时，x₂-

π

6

∈[-

π

6

，3-

π

6

]，有sin（x₂-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
①当k＞0时，g（x₂）值域为[-

1

2

k，k]
②当k＜0时，g（x₂）值域为[k，-

1

2

k]
而依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
∴

k＞0 10≤k - 1 8 ≥- 1 2 k

或  

k＜0 10≤- 1 2 k - 1 8 ≥k

∴k≥10或k≤-20．