题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面x，点E是PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．
分析：（1）作平行线，证线线平行，再由线线平行证明线面平行；
（2）先证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可．
（2）先证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可．
解答：证明：（1）连接AC交BD于O，连接OE，
∵O、E分别是AC、PA的中点，∴OE∥PC，
又PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）∵底面是正方形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
∵O、E分别是AC、PA的中点，∴OE∥PC，
又PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）∵底面是正方形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
点评：本题考查线面平行的判定及面面垂直的判定．
练习册系列答案
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