Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：

x	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3π 4
y	0	1	1 2	0	-1	0

（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，f(A)=-

1

2

，求sin(A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由表格给出的信息，求得函数f（x）的周期为T，从而求得ω 的值，再由sin[2×（-

π

4

）+φ）=0，0＜φ＜π，求得φ 的值，可得函数的解析式．
（2）由f（A）=cos2A=-

1

2

，求得A，再利用两角和的正弦公式求得sin（A+

π

4

）的值．

解答：解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2×（

π

2

-0）=π，
所以，π=

2π

ω

，ω=2．
再由sin[2×（-

π

4

）+φ）=0，0＜φ＜π，可得φ=

π

2

，
所以，函数的解析式为f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
（2）∵f（A）=cos2A=-

1

2

，∴A=

π

3

 或A=

2π

3

．
当A=

π

3

时，sin（A+

π

4

）=sinAcos

π

4

+cosAsin

π

4

=

6 + 2

4

．
当A=

2π

3

时，sin（A+

π

4

）=sinAcos

π

4

+cosAsin

π

4

=

6 - 2

4

．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．